第35章 lg（以10为底）与ln（以e为底）的历史故事（2/2）
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leibniz）和约翰·伯努利（johann
bernoulli）。他们在发展微积分的过程中发现，函数y
=
1x的积分无法用多项式表达，但其积分结果恰好是自然对数函数ln(x）。这一发现揭示了ln在分析学中的核心地位。与lg不同，ln并非为简化计算而生，而是从数学内在结构中自然涌现。它在微分和积分中表现出非凡的简洁性：例如，d(ln
x）dx
=
1x，而∫(1x）dx
=
ln|x|
+
c。这种“天然”的数学美感，使得ln成为理论数学、物理学和高等工程学中的首选工具。
四、两种对数的交汇与分野18世纪，随着微积分的成熟，数学家们开始系统研究对数函数的性质。欧拉（leonhard
euler）在1748年的《无穷小分析引论》中首次明确将e定义为自然对数的底，并推导出着名的欧拉公式：e^(ix）
=
cos
x
+
i
sin
x，将指数函数与三角函数深刻联系起来。与此同时，常用对数仍在应用领域占据主导。19世纪，随着电报、铁路、工业革命的推进，工程师们依赖对数表进行设计计算。分贝（db）、ph值、里氏震级等科学单位均以lg为基础，体现了其在量化“数量级”方面的优势。20世纪初，随着计算机的出现，计算方式发生根本变革。对数表和计算尺逐渐被电子设备取代。然而，lg并未消失，而是以新的形式延续其生命力：在计算机科学中，对数尺度用于数据可视化；在信息论中，以2为底的对数（log）成为主流，但lg仍用于，表示信息熵的十进制，单位（哈特）。而ln则在理论，物理、量子力学、统计学，和微分方程，中愈发重要。
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